2017年11月9日木曜日

素イデアルが無限に存在する

素数が無限に存在するという定理の証明に、次のようなものがある。

整数全体の集合において、その部分集合で等差数列 (\(-\infty\) から \(\infty\)まで) をなすもの全体を考える。 2つの等差数列の交わりは空集合であるかまたは等差数列であるから、これを基底として整数全体に位相が導入でき、それを \(S\) とする。 実は、この位相のもとで \(S\) は正規であり、第2可算公理を満たすから距離付け可能なことが示される。 各等差数列はその補集合が(同じ差をもつ)他の等差数列の和集合であるから、開集合であると同時に閉集合である。 ここで集合 \(A=\cup_p A_p\) (\(A_p\) は \(p\) の全ての倍数からなり、\(p\) は2以上のすべての素数を動くものとする) を考える。 空でない開集合は等差数列の和であるから無限集合である。 \(A\) に属さない数は \(-1\) と \(1\) だけであり、集合 \(\{-1, 1\}\) は明らかに開集合でないから \(A\) は閉集合になることはできない。 よって \(A\) は有限個の等差数列 \(A_p\) の和集合となることはなく、これは素数が無限に多く存在することを証明している。

上の引用は Ribenboim「素数の世界」共立出版 からとった。 元々は Fürstenberg, On the infinitude of primes. Amer. Math. Manthly, 62, 1955 によるものである。

証明の肝は 1. 等差数列は開集合かつ閉集合、 2. 単数は有限個、 という部分である。 この議論を一般化すると、もう少し一般的な環でも「素イデアル」が無限に存在することが示せる。 まあ、そんなことを証明したいことがあるのか知らないが。

命題: 整域 \(R\) は次の3条件を満たすとする。 0. \(R\) は無限集合、 1. 任意の極大イデアルの剰余類は有限個、 2. 単数は有限個。 このとき \(R\) には無限個の極大イデアルが存在する。

証明: \(R\) における全ての極大イデアルとその剰余類から生成される位相を考える。 このとき空集合以外の開集合は無限集合である。 単数全体の集合 \(R^{\times}\) は有限集合だから開集合ではないことがわかる。 極大イデアルは、自身を除く剰余類の有限和集合の補集合であるから閉集合である。 単数以外の元はいずれかの極大イデアルに属するので、\(R \setminus R^{\times}\) は極大イデアルの和集合である。 各極大イデアル自体は閉集合だが、この和集合は補集合が開集合にならないので閉集合でない。 したがって、極大イデアルが無限に存在しなければならない。

たとえば虚2次体の整数環では単数が有限個なのでこの証明が通用する。 というか \(\mathbb{Z}[i]\) のイデアルについて考えているときに上に引用した証明を思い出して、 \(\mathbb{Z}[i]\) でもいけるなあと思っただけの話だったのだ。

2017年2月19日日曜日

書原阿佐ヶ谷店の閉店

南阿佐ヶ谷の駅前にある書店、書原阿佐ヶ谷店が今日で閉店する。 入居しているビルの建て替えに伴って、ということだ。

考えてみれば自分の日々読む本の結構な割合はここで購入するものだった。 もちろん、図書館も使うし、マンガなら書楽の方が充実しているし、より学術よりのものは新宿紀伊國屋に出向いて買うことが多い。 重そうなものやマイナーなものは Amazon に頼んでしまうし、仕事帰りに渋谷のブックファーストやジュンク堂書店で買うこともたまにある。 それでも一番利用していた書店だった。

その昔、アルバイトをしていたこともある。 大学生になって最初に始めたバイトだった。 夕方から閉店までの時間帯、レジを打ち、返本の伝票を記入し(いまならバーコードか何かだろうけどそのころは手書きだった)、割引で書籍を購入し…。 週に何度も1万円を越える買い物をしていく常連客などもいて、 大人になったらあんな勢いで本を買ってみたいものだと思っていた。 まあ、現実は読書スピードがそこまで追い付かないわけだが。

最後に、書原さん今までありがとう。

※ 書原という会社としては何店舗かあるので、閉店するのはあくまで阿佐ヶ谷店の話です。

2017年1月1日日曜日

2016年の読書

2017年が始まったので、2016年に読んだものの中で印象に残っているものを紹介する。 前にこんな感じで書いたのは 2013年の読書 だから3年ぶりだ。

ヘレナ・アトレー「柑橘類と文明」築地書館

読書メーターの記録によればこれが2016年の最初に読んだ本。 イタリア各地で栽培されているそれぞれの土地ごとの柑橘類を訪ね歩く紀行文で、 その後ピエール・ラスロー「柑橘類の文化誌」一灯舎を読んだり、 自分の中での柑橘類ミニブームの始まりとなった。

トリウム熔融塩炉関連本

これは別にまとめたので省略。

エイドリアン・ベジャン, J.ペダー・ゼイン「流れとかたち」紀伊國屋書店

「有限大の流動系が時の流れの中で存続するためには、その系の配置は、中を通過する流れを良くするように進化しなければならない」というコンストラクタル法則を説明した本。 提唱者であるベジャンの会話のスタイルが YouTube に上がっているインタビュー動画などを見ても定義・例・説明がごた混ぜに進むものなので、続編の The Physics of Life でも(さらに)くどい文体なのは我慢しなければならないが、 考え方は面白い。 正しいとも正しくないとも判断しづらいのが、科学として成り立つ議論なのか、という引っ掛かりを生んでしまうからか、書評などでは否定的な意見も多い。

かげきしょうじょ!!

マンガの中では特に斉木久美子の「かげきしょうじょ!」が印象的だった。 「かげきしょうじょ!」1, 2 が集英社のヤングジャンプコミックスで出ていたものが、 白泉社の花とゆめコミックスに移って(名前も「かげきしょうじょ!!」と ! が一つ増えて)1, 2, 3 と刊行が続いている。 宝塚音楽学校をモデルとした学校の個性溢れる生徒たちの成長物語。

※本のリンクはamazonアフィリエイトです。

2016年12月24日土曜日

トリウム熔融塩炉関連読書案内

ここ数ヶ月でトリウム熔融塩炉に関する本をまとめて読んだので、読書案内という形でまとめてみる。

ざっと、本当に簡単に、背景知識というか概略を説明しておく。

現在普通に見られる原子炉で使われている燃料はウラン235である。 ウラン235は天然のウラン中に約0.7%存在する同位体である。 残りほとんどはウラン238である。 燃料としてのウランはウラン235の比率を高めてある(場合が多い)。 燃料ではない方のウランすなわちウラン238に中性子が吸収された場合、核分裂せずに2度のβ崩壊によってプルトニウム239になる。 プルトニウム239は核分裂する。 ということで、使用済み核燃料の中にはまだ核分裂する物質が残っているので、集めて使おうという発想が出てくる。 とくに、新たに作られるプルトニウムを効率よく作りだそうというのが廃炉になるもんじゅなどで進められていた増殖炉という構想である。

一方のトリウムはウランより2つ原子番号が小さい元素で天然のトリウムの同位体構成はほぼ100%トリウム232である。 トリウム232はウラン238に似てそれ自体が核分裂するわけではなく中性子を吸収すると2度のβ崩壊によってウラン233になり、これが核分裂する。 そういうわけで、トリウム232をウラン233に転換しながらウラン233を核分裂させる状態を維持すれば、原子炉として運転できるわけである。 この反応ではプルトニウムはほとんど生み出されないし、ウラン233(と不純物として紛れ込むウラン232)は放射能が強く核兵器に転用しづらいという政治的安全性がある。

もう一つのキーワード「熔融塩炉」は、現在の原子炉が金属の容器に閉じ込めたウランを水で冷却する方式であるのに対し、 溶融塩という言うなれば溶岩のような高温の液体の中にトリウムを混ぜ込んで反応を進める方式である。 利点として、燃料交換が不要になること安全性が格段に向上することなどが見込まれている。 冷戦時代のアメリカで実験炉が運転されていたことはあるが、その後すっかり忘れ去られていた技術である。

福島での事故が起きてから世界的に原発への風当たりは強いが、 「原子力が全ていけないわけではない。悪いのはウラン軽水炉という現行の原子炉の基本設計である」 という意見の代表として注目されているのがトリウム熔融塩炉なのである。

前置きが長くなったが、ここからが本題の読書案内である。

古川和男「原発安全革命」文春新書

とにかく、これを読むべき。

古川和男氏はアメリカで実験炉が運転されていた頃からトリウムに注目し、 その後 FUJI というトリウム熔融塩炉の設計を行った。 この本は、なぜトリウムなのか、なぜ熔融塩炉なのかという背景から、FUJI の概略やそういった炉が社会に及ぼすインパクトまで一般向けに解説している。 2001年に出版された「「原発」革命」を2011年の福島の事故を踏まえて増補改訂したものである。 上に書いたような概略の先を知るためにはまずこの本を読むのがお勧め。

亀井敬史「平和のエネルギートリウム原子力」雅粒社

トリウムの利用に関する世界の動向を紹介しているわずか80ページほどの本。 出版年は2010年。 次に紹介する「トリウム原子炉の道」と合わせて読むと良いかも。

II もあってその後の展開をフォローしているがいささかやっつけ感があり、そこまで無理して読まなくてもいい。

リチャード・マーティン「トリウム原子炉の道」朝日選書

冷戦時代のアメリカで実験炉があったのになぜトリウム熔融塩炉は実用化されなかったのか。 なぜ今世界で再び注目を集めているのか。 といった方向からアメリカのジャーナリストが取材した本。 YouTube でトリウムを検索すると大量に出てくるカーク・ソレンセンの名前も何度か登場する。

金子和夫「「原発」、もう一つの選択」ごま書房新社

そろそろこの辺りから別に読まなくても…という感じになってはくるのだが、せっかくなので紹介を続けよう。

現実路線というか、新規のトリウム原子炉を建設する前に現在あるウラン軽水炉の燃料集合体の一部を小型のトリウム溶融塩炉に置き換える RinR (reactor in reactor) という構想が紹介されているのが目新しい話題。 ハルデン実験炉、という国際的に研究のために共同運用されているノルウェーにある原子炉でこの実験をする契約を交わしたそうなので、一番早く聞くことになりそうな日本のトリウム炉のニュースは RinR だろう。

亀井敬史ほか「トリウム溶融塩炉で野菜工場をつくる」雅粒社

「平和のエネルギートリウム原子力」を書いた亀井も一枚噛んでいる町おこしにトリウム熔融塩炉を活用しようという構想の紹介。

長瀬隆「トリウム原子炉革命」小石川ユニット

副題が「古川和男・ヒロシマからの出発」ということで、上で紹介した古川に衝撃を受けた個人的体験談というようなもの。

2016年11月25日金曜日

Gentoo Prefix から Homebrew へ移行

長年 Gentoo Prefix を使ってきたが、bootstrap が上手く行かないことが続いたりして限界を感じていた。 ということで、Homebrew に乗り換える。 まあ、基本的に Emacs で wanderlust さえ動けば移行に支障は無い。

Emacs。 最初、brew install emacs したらターミナルでしか動かなくて、どうしようかと思ったが、 --with-cocoa を渡してやったら Emacs.app もインストールされた。 brew linkapps emacs しておくと /Applications にリンクも張ってくれる。 便利じゃないか。

wanderlust。 Gentoo Prefix ではパッケージで入れていたが、最近は melpa で入れられる。 ということで、インストールした Emacs で M-x package-list-packages で wanderlust を選んであっという間にインストール完了。

おまけ。 brew install lesspipe して export LESSOPEN="|lesspipe.sh %s" と設定すると、 Mac でも linux みたいに gzip されたものが less で開ける、というのを最近知った。

2016年6月2日木曜日

階乗の集合の等しい積への分割 (はできない)

\(\{1, 2, \ldots, n\}\) を二つの部分集合に分割したとき、その積が一致することはない。 では \(\{1!, 2!, \ldots, n!\}\) にも同様に積が一致するような分割はないと証明できるか、というのがツイッターで流れてきたので考えてみた。

まず \([n] = \{1, 2, \ldots, n\}\) の場合を振り返っておこう。 二つの部分集合に分割して積が一致するならば、全体の積 \(n!\) は平方数である。 \(n=2,3\) の場合はこれが無理なことは明らかなので、\(n > 3\) とする。 ところで \(n/2\) と \(n\) の間に素数が一つ以上存在する(いわゆるベルトランの仮説)のでその一つを \(p\) とおく。 \(p\) の倍数は \([n]\) の中で \(p\) 自身のみだから、積 \(n!\) は \(p\) でちょうど1回しか割り切れないので平方数ではない。 したがって積が一致するような分割は存在しない。

次に \([n]! = \{1!, 2!, \ldots, n!\}\) の場合を考える。 (\([n]!\) という記号はここだけの記号である。) 二つの部分集合に分割して積が一致するならば、全体の積 \(\prod_{k=1}^{n}k!\) は平方数であるというところまでは同じである。 多分平方数にならないとは思うが、それを一気に考えるのは難しい。

簡単なところから考えると、\([2]! = \{1!, 2!\} = \{1, 2\} = [2]\) であるから明らかに分割できない。 \([3]! = \{1!, 2!, 3!\}\) の場合、\(3\) で割り切れる回数はそれぞれ 0, 0, 1 回だから、全体の積は 1 回しか \(3\) で割り切れず平方数でない。

少し一般化する。 \(p\) を素数とすると \([p]!\) 全体の積は \(p\) で 1 回しか割り切れないので平方数でない。 よって、\([p]!\) は積が一致するような分割を持たない。

同じように割り切る回数を数えることで次のことも判る。 奇素数 \(p\) に対し、\([2p]!\) は積が一致するような分割を持たない。 実際、数えてみれば全体の積は \(p\) で \(p+2\) 回割り切れるが \(p+2\) は奇数である。

と、ここまではすぐに考えたが、実際は別の方向に考えた方が良かったのである。

全体の積 \(\Pi_n = \prod_{k=1}^{n}k!\) をもう少し別の角度から眺めよう。 イメージとしては、\(k!\) という列を並べた三角形を、\(k\) の冪という行に分ける。

\[\Pi_n = \prod_{k=1}^{n}k! = \prod_{k=1}^{n} k^{n-k+1} \]

\(n\) が奇数の時、\(\Pi_n\) から偶数 \(k\) について \(k^{n-k+1}\) と奇数 \(k'\) について \(k'^{n-k}\) が平方因子として取り除けて、 \(\Pi_n\) の代わりに残った奇数の積 \(n!!\) が平方数かどうかを考えれば良い。 これは再びベルトランの仮説の出番で、\(n > 4\) とすると \(n/2\) と \(n\) の間に奇素数が一つ以上存在し、 これを \(p\) とおくと \(n!!\) は \(p\) でちょうど1回しか割り切れないので平方数でない。 したがって積が一致するような \([n]!\) の分割は存在しない。

\(n\) が偶数の時も同様の議論で、\(n!!\) が平方数かどうかの議論をすれば良く、 三度ベルトランの仮説から(偶数の二重階乗なので各数を半分にして) \(n/4\) と \(n/2\) の間に奇素数が存在することが言えて平方数でないと示せる。 結局積が一致するような \([n]!\) の分割は存在しないことがわかる。

まとめると、\(2\) 以上の任意の整数 \(n\) に対し \([n]!\) は積が一致するような二つの部分集合への分割を持たない。

2016年5月29日日曜日

LibreOffice のイタリア語UI

日常的なUIメニューに飽きてくるとソフトウェアのUIをイタリア語に切り替えるということをすることがある。 イタリア語ができるわけではない。 日本語や英語のメニューでこう書いてあった場所だからイタリア語のこの言葉の意味はそういう意味だ、と認識さえできれば大抵のことは何とかなるからただの気分転換だ。 一度、使用契約の更新の類がイタリア語で案内されて絶望的な気分になったことはあるが、その時も結局契約の書面自体は英語だった。 まあつまり、だいたい何とかなる。

で、LibreOffice である。

イタリア語に切り替えて、Calc で和を計算しようとした。 =SUM(A1:A19) みたいなことをセルに打ち込むわけである。

#NOME?

「はぁ?」である。 nome はイタリア語で「名前」である。 つまり関数名を間違ったときなどに見る #NAME? というエラーだ。

いやちょっと待て。 そこは日本語UIでも英語で #NAME? であって #名前? ではないぞ。 つまり? 逆に考えれば?

SUM という関数名も SOMMA とイタリア語化するのだ!

うわぁ、まじか…

ということで、とても使える自信が無いので諦めて日本語に戻した。 この挙動は Excel とかでもそうなのかな?